Одной из фундаментальных теорем геометрии является неравенство треугольника, которое утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Это свойство является критерием существования треугольника.
Содержание
Формулировка теоремы
Для любых трех точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, выполняются следующие неравенства:
- AB + BC > AC
- AC + BC > AB
- AB + AC > BC
Геометрическое доказательство
- Рассмотрим треугольник ABC
- Продлим сторону AB за точку B, отложив отрезок BD = BC
- Соединим точки D и C
- Треугольник BDC - равнобедренный (BD = BC по построению)
- Угол BDC = углу BCD (как углы при основании равнобедренного треугольника)
- Следовательно, угол ACD > угла BDC = угла BCD
- В треугольнике ADC против большего угла (ACD) лежит большая сторона
- Поэтому AD > AC
- Но AD = AB + BD = AB + BC
- Таким образом, AB + BC > AC
Алгебраическое доказательство
Для сторон a, b, c треугольника справедливо:
| a + b > c | (1) |
| a + c > b | (2) |
| b + c > a | (3) |
Докажем первое неравенство (остальные доказываются аналогично):
- Из определения длины: a > 0, b > 0, c > 0
- По свойству модуля: a + b ≥ |a - b|
- По условию существования треугольника: |a - b| < c < a + b
- Следовательно: a + b > c
Практическое значение теоремы
- Проверка возможности построения треугольника по трем отрезкам
- Определение минимального периметра фигуры
- Применение в физике при сложении векторов
- Использование в компьютерной графике для оптимизации
Следствия из теоремы
Из неравенства треугольника вытекают важные следствия:
| Разность двух сторон меньше третьей стороны | |a - b| < c |
| Любая сторона треугольника меньше полупериметра | a < p, где p = (a+b+c)/2 |
| Длина стороны больше разности двух других сторон | c > |a - b| |
